Brennpunkt Parabel Beispiel Essay

In der Mathematik ist eine Parabel (von lat.parabola zu altgriechischπαραβολήparabolḗ ‚Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit‘; zurückzuführen auf παράpará ‚neben‘ und βάλλεινbállein ‚werfen‘)[1] eine Kurve zweiter Ordnung. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) als parabolḗ[2] benannt.

Parabeln treten in der Mathematik häufig als Graphen quadratischer Funktionen auf.

Auch im täglichen Leben spielen Parabeln eine Rolle:

  • Die Funktionsweise von Parabolantennen und Parabolspiegeln beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten).
  • Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). Dies hängt damit zusammen, dass Wurfbewegungen durch quadratische Funktionen beschrieben werden.
  • In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet.
  • In der Mathematik werden Parabeln häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: ) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: ) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von Polynomfunktionen 2. Grades beschreiben kann.

Definition mit Leitlinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Parabel kann geometrisch als Ortslinie beschrieben werden:

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt – gleich dem Abstand zu einer speziellen Geraden – der Leitlinie  – ist.

Als Punktmenge notiert:

Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel oder Scheitelpunkt der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird auch Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.

Führt man Koordinaten so ein, dass ist und die Leitlinie die Gleichung besitzt, so ergibt sich für aus die Gleichung

einer nach oben geöffneten Parabel.

Die halbe Weite der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus zu und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der Halbparameter der Parabel. Der Halbparameter ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der Scheitelkrümmungskreisradius, also der Radius des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:

Vertauscht man und , so erhält man mit

die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel.

Parabel als Funktions-Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit Scheitel im Nullpunkt (0,0) und der -Achse als Achse wird (in kartesischen Koordinaten) durch eine Gleichung

beschrieben. Für sind die Parabeln nach oben geöffnet, für nach unten (siehe Bild). Dabei gilt:

Für erhält man die Normalparabel. Ihr Brennpunkt ist , der Halbparameter und die Leitlinie hat die Gleichung .

Nach einer Verschiebung erhält man die Scheitelform einer beliebigen nach oben oder unten geöffneten Parabel:

mit dem Scheitel

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich die allgemeine Gleichung einer nach unten oder oben geöffneten Parabel:

Sie ist der Graph der quadratischen Funktion

.

Ist die Funktion gegeben, so findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung:

Jede Parabel ist zur Normalparabel y=x² ähnlich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander übergeführt werden können. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen, Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Eine beliebige Parabel hat einen Scheitel und kann durch die Verschiebung und eine geeignete Drehung um den Ursprung so transformiert werden, dass die transformierte Parabel den Ursprung als Scheitel und die -Achse als Achse besitzt. Also ist die Parabel zu einer Parabel mit der Gleichung ähnlich. Durch die zusätzliche zentrische Streckung wird die Parabel schließlich in die Normalparabel übergeführt. Also gilt

  • Jede Parabel ist zur Normalparabel ähnlich.

Bemerkungen:

  1. Diese Aussage ist nur für Parabeln richtig und nicht für Ellipsen/Einheitskreis und Hyperbeln/Einheitshyperbel!
  2. Es gibt andere einfache affine Abbildungen, die die Parabel auf die Normalparabel abbilden. Zum Beispiel . Aber diese Abbildung ist keine Ähnlichkeitsabbildung!

Parabel als Sonderfall der Kegelschnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schar der Kegelschnitte, deren Achse die -Achse ist und die einen Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) mit dem Scheitelkrümmungskreisradius (beliebig, aber fest) haben, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben.

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

a, b, c nicht alle 0.

Um zu erkennen, welcher Kegelschnitt durch eine konkrete Gleichung beschrieben wird, muss man eine Hauptachsentransformation (Drehung und anschließende Verschiebung des Koordinatensystems) durchführen. Siehe hierzu Kegelschnitt.

Parabel als Kegelschnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene , deren Neigung gleich der Neigung der Mantellinien des Kegels ist, so ergibt sich eine Parabel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. Brennpunkt und Leitlinie (s. oben) führt man mit Hilfe einer Dandelin’schen Kugel, d. i. eine Kugel, die den Kegel in einem Kreis und die Parabel-Ebene in einem Punkt berührt. Es stellt sich heraus, dass der Brennpunkt der Schnittparabel und die Schnittgerade der Ebene des Berührkreises mit der Ebene die Leitlinie ist.

  1. sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit gleich lang.
  3. Die Ebenen durch die Mantellinie schneiden die Parabelebene in einer Schar paralleler Geraden, die senkrecht zur Geraden
Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen.
Wasserstrahlen beschreiben ebenfalls Parabeln, wenn man die Reibung vernachlässigt.
Parabel: Definition mit Brennpunkt und Leitlinie, Halbparameter p
Parabeln (Parabelschar)
Parabel mit dem Faktor 2 am Ursprung gestreckt, das Ergebnis ist die Parabel .
Kegelschnittschar mit Scharparameter
Dandelin-Kugel: Parabel-Fall (Grund- und Aufriss)
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